Der 1780 in der Nähe von Suhl geborene Anschütz begann als Sohn eines Pfarrers, auf dessen Wunsch, ein Theologiestudium in Leipzig. Er promovierte allerdings in Philosophie und trat 1799 eine Lehrstelle an der Wendlerschen Freischule Leipzig, später an der Bürgerschule der Moritzbastei an. Anschütz gab Privatunterricht im Klavier-, Violine- und Cellospielen und studierte einige Jahre Generalbass bei dem Thomaskantor Johann Gottfried Schicht. 1819 bekam er zusätzlich die Stelle als Kantor und Organist an der Leipziger Neukirche. Trotzdem konnte er seine Frau und sieben Kinder kaum ernähren, da er bei den Veröffentlichungen seiner Werke auf einen Großteil des Honorars verzichtete, um die Bücher seinen Schülern erschwinglich zu gestalten. Der in Leipzig hoch angesehene Anschütz lernte unter anderem den Verleger Anton Phillip Reclam kennen und veröffentliche in seinem Verlag das wegweisende „Musikalische Schulgesangsbuch". Bekannt ist Anschütz heute durch das Mitwirken als Texter und Komponist an diversen Kinderliedern wie „Ein Männlein steht im Walde", „Es klappert die Mühle", Fuchs du hast die Gans gestohlen", O Tannenbaum" oder „Wenn ich ein Vöglein wär".